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🔠 Linear Algebra

Linear Algebra - [ 02. Elimination with Matrices ]

date
Jun 8, 2023
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Linear Algebra
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Elimination with Matrices
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🔠 Linear Algebra
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Jul 28, 2023 07:29 AM
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  • 소거(elimination)는 선형 대수의 두 번째 강의 주제이며, 방정식을 풀기 위한 방법 중 하나이다.
  • 소거는 행렬 연산으로 표현되며, 소행렬을 곱하거나 빼는 과정으로 이루어진다.
  • 성공적인 소거를 위해선 행렬의 선행원소(pivot)가 0이 아니어야 한다.
  • 소거 과정에서 행을 교환하거나 0인 선행원소가 나타나는 경우에는 실패로 간주된다.
  • 소거를 통해 얻은 행렬은 상삼각행렬(upper triangular matrix)이며, 상삼각행렬에서 후진대입(back substitution)을 수행하여 방정식을 해결할 수 있다.

How elimination works

다음과 같이 미지수 3개와 선형 방정식 3개가 주어졌을 때
 
 
소거법을 사용하여 해를 구하는 방법은 다음과 같다.
step1. (2, 1) elimination
step2. (3, 2) elimination
 
위의 matrix 에서 빨간색의 위치를 pivot 이라고 부르며, pivot 은 0이 될 수 없다. 만약 pivot 이 0일 경우에는 row 들을 switch 하여 진행한다. pivot 을 이용한 계산 방법은 다음과 같다. step1 을 예로 들면, pivot row 에 어떤 숫자를 곱하고 row2 - pivot row 를 했을 때 (2, 1)이 0이 되도록 하는 것이다.
 
 
따라서 row1 에 3을 곱하고 row2 에서 row1 을 빼면 된다.
 
위의 단계를 거치면 다음과 같은 식을 얻게 되고
 
 
해를 쉽게 구할 수 있다.
 
 
따라서 소거법의 전체 목적은 A에서 u로 가는 것이고, 말 그대로 science computing 에서 가장 일반적인 계산 방법이다.
 

Combination of matrix

  1. combination of the columns of the matrix
      2.  
       
  1. matrices work by rows
      2.  
       
 

Elimination with matrices

 
 
  1. step1: subtract 3xrow1 from row2
      2.  
       
  1. step2: subtract 2xrow2 form row3
      2.  
       
  1. all of elimination in one shot
      2.  
       
       

Permutation: Exchange row1 and 2

  1. multiply on the left == doing row operation
      2.  
       
  1. muliply on the right == doing column operation
      2.  
       
      ⇒ A x B ≠ B x A
       

Inverses